Мелкон Мелконян е роден на 25 март 1944 година в гр. Бургас. Завършва право в Софийски университет "Климент Охридски" през 1969 година. През 1970 година е стажант в Софийски градски съд. От месец януари 1971 година до месец април 1981 година, последователно е младши съдия в Бургаски окръжен съд, районен съдия в Бургаския районен съд и Председател на Районен съд -Малко Търново. Седем години - от месец февруари 1981 г. до месец март 1988 година е съдия в Окръжен съд - Бургас, а след това до месец февруари 1991 година е Секретар на ИК на Общински народен съвет - Бургас.
През месец януари 1991 година е избран от Великото народно събрание за Председател на Окръжен съд - Бургас. Избран е за член на Висшия съдебен съвет от квотата на съдиите през 1992 година.
От 1992 година, в продължение на пет години Мелкон Мелконян ръководи Наказателна колегия при Върховния касационен съд на Република България, като Заместник председател.
Съдия Мелкон Мелконян е първият председател на Апелативен съд - Бургас. С дейността си, той изгражда структурата и ръководи правораздавателната дейност на Апелативния съд в Бургас до месец юни 2004 година. До края на съдийската кариера през 2009 година, Мелкон Мелконян е съдия в наказателно отделение на Апелативен съд -Бургас.
Дългогодишен член на ръководството на Съюза на съдиите в България. С изключителният си професионализъм, интелект и опит, Мелкон Мелконян даде забележителен принос за развитието на българското правораздаване.